Ví dụ Hàm sinh mô men

Dưới đây là một số ví dụ về hàm sinh mô men và hàm đặc trưng của một số phân phối xác suất để so sánh. Có thể thấy rằng hàm đặc trưng là một phép quay Wick của hàm sinh mô men M X ( t ) {\displaystyle M_{X}(t)} khi nó tồn tại.

Phân phốiHàm sinh mô men M X ( t ) {\displaystyle M_{X}(t)} Hàm đặc trưng φ ( t ) {\displaystyle \varphi (t)}
suy biến δ a {\displaystyle \delta _{a}} e t a {\displaystyle e^{ta}} e i t a {\displaystyle e^{ita}}
Bernoulli P ( X = 1 ) = p {\displaystyle P(X=1)=p} 1 − p + p e t {\displaystyle 1-p+pe^{t}} 1 − p + p e i t {\displaystyle 1-p+pe^{it}}
hình học ( 1 − p ) k − 1 p {\displaystyle (1-p)^{k-1}\,p} p e t 1 − ( 1 − p ) e t {\displaystyle {\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}}
∀ t < − ln ⁡ ( 1 − p ) {\displaystyle \forall t<-\ln(1-p)} 		p e i t 1 − ( 1 − p ) e i t {\displaystyle {\frac {pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}}}
nhị thức B ( n , p ) {\displaystyle B(n,p)} ( 1 − p + p e t ) n {\displaystyle \left(1-p+pe^{t}\right)^{n}} ( 1 − p + p e i t ) n {\displaystyle \left(1-p+pe^{it}\right)^{n}}
nhị thức âm NB ⁡ ( r , p ) {\displaystyle \operatorname {NB} (r,p)} ( p 1 − e t + p e t ) r , t < − log ⁡ ( 1 − p ) {\displaystyle \left({\frac {p}{1-e^{t}+pe^{t}}}\right)^{r},t<-\log(1-p)} ( p 1 − e i t + p e i t ) r {\displaystyle \left({\frac {p}{1-e^{it}+pe^{it}}}\right)^{r}}
Poisson Pois ⁡ ( λ ) {\displaystyle \operatorname {Pois} (\lambda )} e λ ( e t − 1 ) {\displaystyle e^{\lambda (e^{t}-1)}} e λ ( e i t − 1 ) {\displaystyle e^{\lambda (e^{it}-1)}}
đều liên tục U ⁡ ( a , b ) {\displaystyle \operatorname {U} (a,b)} e t b − e t a t ( b − a ) {\displaystyle {\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}} e i t b − e i t a i t ( b − a ) {\displaystyle {\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}}
đều rời rạc DU ⁡ ( a , b ) {\displaystyle \operatorname {DU} (a,b)} e a t − e ( b + 1 ) t ( b − a + 1 ) ( 1 − e t ) {\displaystyle {\frac {e^{at}-e^{(b+1)t}}{(b-a+1)(1-e^{t})}}} e a i t − e ( b + 1 ) i t ( b − a + 1 ) ( 1 − e i t ) {\displaystyle {\frac {e^{ait}-e^{(b+1)it}}{(b-a+1)(1-e^{it})}}}
Laplace L ( μ , b ) {\displaystyle L(\mu ,b)} e t μ 1 − b 2 t 2 ,   | t | < 1 / b {\displaystyle {\frac {e^{t\mu }}{1-b^{2}t^{2}}},~|t|<1/b} e i t μ 1 + b 2 t 2 {\displaystyle {\frac {e^{it\mu }}{1+b^{2}t^{2}}}}
chuẩn N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})} e t μ + 1 2 σ 2 t 2 {\displaystyle e^{t\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}} e i t μ − 1 2 σ 2 t 2 {\displaystyle e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}
chi-bình phương χ k 2 {\displaystyle \chi _{k}^{2}} ( 1 − 2 t ) − k 2 {\displaystyle (1-2t)^{-{\frac {k}{2}}}} ( 1 − 2 i t ) − k 2 {\displaystyle (1-2it)^{-{\frac {k}{2}}}}
chi-bình phương phi trung tâm χ k 2 ( λ ) {\displaystyle \chi _{k}^{2}(\lambda )} e λ t / ( 1 − 2 t ) ( 1 − 2 t ) − k 2 {\displaystyle e^{\lambda t/(1-2t)}(1-2t)^{-{\frac {k}{2}}}} e i λ t / ( 1 − 2 i t ) ( 1 − 2 i t ) − k 2 {\displaystyle e^{i\lambda t/(1-2it)}(1-2it)^{-{\frac {k}{2}}}}
Gamma Γ ( k , θ ) {\displaystyle \Gamma (k,\theta )} ( 1 − t θ ) − k ,   ∀ t < 1 θ {\displaystyle (1-t\theta )^{-k},~\forall t<{\tfrac {1}{\theta }}} ( 1 − i t θ ) − k {\displaystyle (1-it\theta )^{-k}}
mũ Exp ⁡ ( λ ) {\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )} ( 1 − t λ − 1 ) − 1 ,   t < λ {\displaystyle \left(1-t\lambda ^{-1}\right)^{-1},~t<\lambda } ( 1 − i t λ − 1 ) − 1 {\displaystyle \left(1-it\lambda ^{-1}\right)^{-1}}
chuẩn nhiều chiều N ( μ , Σ ) {\displaystyle N(\mathbf {\mu } ,\mathbf {\Sigma } )} e t T ( μ + 1 2 Σ t ) {\displaystyle e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\left({\boldsymbol {\mu }}+{\frac {1}{2}}\mathbf {\Sigma t} \right)}} e t T ( i μ − 1 2 Σ t ) {\displaystyle e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\left(i{\boldsymbol {\mu }}-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} \right)}}
Cauchy Cauchy ⁡ ( μ , θ ) {\displaystyle \operatorname {Cauchy} (\mu ,\theta )} không tồn tại e i t μ − θ | t | {\displaystyle e^{it\mu -\theta |t|}}
Cauchy nhiều chiều

MultiCauchy ⁡ ( μ , Σ ) {\displaystyle \operatorname {MultiCauchy} (\mu ,\Sigma )} [3]

không tồn tại e i t T μ − t T Σ t {\displaystyle \!\,e^{i\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\mu }}-{\sqrt {\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} }}}}